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Definição de Lógica

A lógica trata de correção de pensamento. Como filosofia, procura saber por que pensamos assim e não do outro jeito. Como arte ou técnica, nos ensina a usar corretamente as leis do pensamento.

Poderíamos dizer que a lógica é a arte de pensar corretamente e, visto que a forma mais complexa de pensamento é o raciocínio, a lógica estuda ou tem em vista a “correção do raciocínio”. Podemos ainda dizer que a lógica tem em vista a “ordem da razão”. Isto dá a entender que a nossa razão ode funcionar desordenadamente. Por isso a lógica ensina a colocar Ordem no Pensamento. 

Muitos dos mais criativos enigmas matemáticos, aliás, são sugeridos por situações ocorridas no dia-a-dia de pessoas comuns, como carpinteiros, costureiras e ferreiros que os solucionam com maestria digna do respeito dos melhores matemáticos, sem contudo, terem estudado métodos e princípios para raciocinar corretamente.  O estudo da Lógica, é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. Esta definição não quer dizer que somente uma pessoa que tenha estudado Lógica possa raciocinar corretamente e encontrar soluções para diversos problemas. A habilidade de resolver problemas é natural em todo ser humano. Ao resolver o problema do equilíbrio do próprio corpo ou ao decifrar o complexo código de comunicação verbal que nossos pais utilizam, todos nós demos provas que já nascemos com uma incrível capacidade para solucionar enigmas.

Mas, certamente, uma pessoa com conhecimento de Lógica tem mais probabilidades de raciocinar corretamente do que aquela que não se aprofundou nos princípios gerais implicados nessa atividade. Há muitas razões para isso: No estudo da Lógica o aluno deverá fazer exercícios sobre todos os aspectos da teoria que aprende, e isto ajuda o aperfeiçoamento.

Uma parte do estudo da Lógica consiste no exame e na análise dos métodos incorretos do raciocínio (falácias), isto nos dá uma visão mais profunda dos princípios do raciocínio em geral e nos auxilia também a evitá-los. Por último, o estudo da Lógica proporcionará ao estudante certas técnicas e certos métodos de fácil aplicação para determinar a correção ou incorreção de todos os raciocínios, incluindo os próprios. O valor desse conhecimento reside no fato de ser menor a probabilidade de se cometerem erros, quando é possível localizá-los mais facilmente.

Lógica vem de “Logos” que significa palavra, expressão, conceito, pensamento, discurso, razão. 


Álgebra das proposições

Proposição:

Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios:

(I) Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

(II) Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro.

Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada.

Não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas também expressem juízos.

Exemplos de proposições declarativas:

O número oito é par.

Todos os homens são mortais.

Eu falo inglês e espanhol.

Nenhum gato sabe ler.

Não são proposições:

Será que vai esfriar hoje?

Preste atenção ao sinal.

Feliz aniversário!

Abra a janela.

Valores lógicos das proposições:

Chama-se valor lógico de uma proposição p, a verdade se p é verdadeira e a falsidade se p é falsa.

Simbolicamente escrevemos V(p) = V se p é verdadeira e V(p) = F se p é falsa.

Ex. Seja a proposição p: Cuiabá é a capital de Mato Grosso.

O valor lógico de p é V. Escreve-se V(p) = V

Seja a proposição q: Pedro Álvares Cabral descobriu a América.

O valor lógico de q é F. Escreve-se V(q) = F

Os valores “verdadeiro” (V) e “falso” (F) são chamados valores lógicos.

Proposições simples e compostas:

As proposições classificam-se em simples ou atômicas e compostas ou moleculares.

Proposições simples: São aquelas que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. São proposições simples as seguintes:

p: Antonio é casado.

q: Camila é estudiosa.

r: O número 11 é ímpar.

As proposições simples são geralmente designadas pelas letras minúsculas p,q,r,s,.....

Proposições compostas: São aquelas formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples.

São proposições compostas as seguintes:

P: Maria é bonita e Joana é inteligente.

Q: Antonio é casado ou solteiro.

R: Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y.

As proposições compostas são geralmente representadas pelas letras maiúsculas P,Q,R,S.......

Conectivos: São palavras ou frases que se usam para formar novas proposições a partir de outras.

São conectivos usuais em Lógica:

Negação “ não ”, cujo símbolo é ” ~ “ 

p: Antonio não é casado.

Conjunção “ e “ ,cujo símbolo é “ ^ “ 

Q: O número 2 é primo e o número 9 é quadrado perfeito.

Disjunção: “ ou “, cujo símbolo é  "v" 

R : Um triângulo pode ser equilátero ou isósceles ou escaleno.

Condicional : “ se...., então “, cujo símbolo é “→“ 

S: Se está calor então vai chover.

Bicondicional: “ Se, e somente se “, cujo símbolo é “ ↔ “ 

T: Maria é minha tia se, e somente se, é irmã de me pai ou de minha mãe.

Exercícios Grupo A:

1) Sejam as proposições: p: Carla está doente e q: Carla está com febre. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~ p 

b) p ^ q 

c) p v q 

d) p → ~ q 

e) q ↔ p 

f) ~ p ^ ~ q 

g) ~ p v q 

h) p ↔~ q 

i) ~~ p 

j) ( p ^ ~q ) → p

2) Sejam as proposições: p: Paulo é bonito e q: Paulo é alto. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Paulo é alto e bonito.

b) Paulo é bonito mas é baixo.

c) Não é verdade que Paulo é bonito ou baixo.

d) Paulo não é nem bonito e nem alto.

e) Paulo é bonito ou é feio e alto.

f) É falso que Paulo é feio ou que não é alto.

3) Sejam as proposições: p: Alfredo é pobre e q: Tiago é feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições :

a) q → p

b) p ^ ~ q

c) ~ p ↔ q

d) ~ p → q

e) ~ ~ q

f) ( ~ p ^ q ) ↔ p

4) Sejam as proposições: p: Ana fala inglês , q: Ana fala francês e r: Ana fala espanhol. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Ana fala inglês.

b) Ana fala francês e inglês, ou não fala francês nem espanhol.

c) Não é verdade que Ana fala inglês e que não fala francês.

d) É falso que Ana fala francês ou espanhol mas não fala inglês.

Tabela-Verdade

O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos das proposições componentes, e se determina por um dispositivo chamado tabela-verdade, no qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos das proposições simples componentes. No caso de uma proposição simples, pelo princípio do terceiro excluído, temos:

p

V

F

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições dos valores lógicos a p e a q, são:

p	Q
V	V
V	F
F	V
F	F

No caso de uma proposição composta cujas componentes simples são p, q e r, as únicas atribuições possíveis a p, q e r são:

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Operações lógicas sobre proposições:

Quando raciocinamos, efetuamos operações sobre proposições, sendo que elas obedecem as regras de um cálculo, chamado de cálculo proposicional que é semelhante ao da aritmética sobre números. Veremos a seguir as operações lógicas fundamentais.

1) Negação ( ~ )

Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira. O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela seguinte tabela verdade:

p	~p
V	F
F	V

Ex: 

p: O número 125 é cubo perfeito V(p) = V

~p: O número 125 não é cubo perfeito V(~p) = F

Pode-se também negar uma proposição de outras formas:

Ex: 

p: Pedro é estudioso

~p: Não é verdade que Pedro é estudioso

ou ~p: É falso que Pedro é estudioso

Ex: 

q: Todas as mulheres são vaidosas

~q: Nem todas as mulheres são vaidosas

ou ~q: Nenhuma mulher é vaidosa

ou ~q: Alguma mulher não é vaidosa

2) Conjunção ( ^ )

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade quando p e q são ambas verdadeiras e a falsidade nos demais casos. O valor lógico da conjunção de duas proposições é dado pela tabela:

p	q	p^q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Ex: 

a) p: Cuiabá é a capital de Mato Grosso V(p) = V

q: Brasília é a capital do Brasil V(q) = V

pÙq: Cuiabá é a capital de Mato Grosso e Brasília é a capital do Brasil

V(p ^ q ) = V ^ V = V

b) p: 2 é um número primo V(p) = V

q: O quadrado tem 3 lados V(q) = F

p ^ q : 2 é um número primo e o quadrado tem 3 lados

V(p ^ q) = V ^ F = F

3) Disjunção

3.1) Disjunção inclusiva ( ^ )

Chama-se disjunção inclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a falsidade (F ) quando o valor lógico das proposições p e q forem ambos falsos e a verdade ( V ), quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. O valor lógico da disjunção inclusiva de duas proposições é dada pela tabela:

p	q	p^q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ex: 

a) p: A lua é amarela V (p ) = F

q: Pitágoras era grego V ( q ) = V

p ^ q : A lua é amarela ou Pitágoras era grego

V ( p ^ q ) = F ^ V = V

Ex: 

b) p: 2 + 2 = 5 V ( p ) = F

q: 3 < 1 V ( q ) = F

p ^ q : 2 + 2 = 5 ^ 3 < 1

V ( p ^ q ) = F ^ F = F

3.2) Disjunção exclusiva ( v )

Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, a proposição representada por “p ou q “, cujo valor lógico é a falsidade ( F ) quando os valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros e a verdade ( V ), nos demais casos. O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é dado pela tabela:

p	q	p v q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ex:

 p: André é baiano.

q: André é carioca.

p  v  q : André é baiano ou André é carioca

Aqui a palavra ou tem o sentido de exclusão pois não existe a possibilidade de ambas as proposições serem verdadeiras, não é possível ocorrer “André é baiano e carioca".

4) Condicional ( → )

Chama-se proposição condicional a proposição composta representada por “se p então q", cujo valor lógico é a falsidade ( F ) quando p é verdadeira e q é falsa e o valor lógico é a verdade ( V ) nos demais casos. A condicional, onde p é o antecedente e q o conseqüente, se lê das seguintes maneiras:

(i) p é condição suficiente para q

(ii) q é condição necessária para p O valor lógico da “condicional” é dado pela tabela:

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Ex: 

a) p: Brasília é a capital do Brasil V(p) =V

b) q: O mês de julho tem 31 dias V(q) = V

p → q : Se Brasília é a capital do Brasil então o mês de julho tem 31 dias

V ( p → q ) = V → V = V

Ex:

b) p: Brasília é a capital do Brasil V ( p ) = V

q: O número 2 é ímpar V ( q ) = F

p → q : Se Brasília é a capital do Brasil então o número 2 é ímpar.

V ( p → q ) = V ® F = F

Ex:

c) p: O número 2 é ímpar V ( p ) = F

q: O mês de julho tem 30 dias V ( q ) = F

p → q : Se o número 2 é ímpar então o mês de julho tem 30 dias

V ( p → q ) = F  →  F = V

5) Bicondicional (↔ )

Chama-se proposição bicondicional a proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. A bicondicional de duas proposições p e q, se lê das seguintes maneiras:

(i) p é condição necessária e suficiente para q

(ii) q é condição necessária e suficiente para p O valor lógico da “bicondicional” é dado pela

tabela:

P	q	p↔q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Ex: 

a) p: A cidade de Cuiabá está localizada na região centro-oeste V(p) = V

q: 3 / 5 é um número inteiro V(q) = F

p « q : A cidade de Cuiabá está localizada na região centro-oeste se e somente se, 3 / 5 é

um número inteiro.

V(p ↔ q) = V ↔F = F

Ex:

b) p: O mês de julho tem 30 dias V(p) = F

q: Brasília é a capital da Argentina V( q ) = F

(p « q): O mês de julho tem 30 dias se e somente se, Brasília é a capital da Argentina

V(p ↔ q) = F ↔ F = V

Uso de parêntesis

É necessário o uso de parêntesis na simbolização das proposições para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim por exemplo, a expressão p v q ^ r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições: a) ( p v q ) ^ r e b) p v ( q ^ r ) que não têm o mesmo significado pois, na (a) é uma conjunção e na (b) é uma disjunção. 
Analogamente, a expressão p ^ q → r v s dá lugar, colocando-se parêntesis, às seguintes proposições:

((p ^ q) → r ) v s , p ^ ((q → r ) v s ) , ( p ^ (q → r )) v s , p ^ (q → ( r v s)) , (p ^ q )→( r v s) sendo que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado.

Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, nenhuma ambiguidade venha a aparecer. A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das quais são particularmente importantes as duas seguintes:

I) A ordem de precedência para os conectivos é:

1) ~

2) ^ e v

3)  →

4) ↔

Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação (~ ) e o conectivo mais “forte” a bicondicional ( ↔ ). Assim por exemplo, a proposição : p → q ↔ r ^ s é uma bicondicional e nunca uma condicional ou conjunção. Para convertê-la numa condicional tem que se usar parêntesis.

p → (q ↔ r ^ s ) e, analogamente, para convertê-la numa conjunção ( p → q ↔ r ) ^ s

O consequente da condicional é uma bicondicional . Desejando-se converter este consequente numa conjunção, escreve-se: p →  (( q ↔ r ) ^ s

Também são bicondicionais as três seguintes proposições:

p ^ q ↔ r v s ; p → q ↔ r ^ s ; p v q ↔ ~ r → s

II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo –se a associação a partir da esquerda.

Exemplos:

a) (( ~ ( ~ p ^ q ))) v ( ~p )) escreve-se mais simplesmente assim ~~ ( p ^ q ) v ~ p

b) (( p v ( ~ q )) ^ ( r ^ ~ p ) escreve-se mais simplesmente assim: ( p v ~ q ) ^ ( r ^ ~ p )

c) ((( p v ( ~ q )) ^ r ) ^ ( ~p )) escreve-se mais simplesmente assim: ( p v ~q ) ^ r ^ ~ p

d) (( ~ p )  →  ( q → ( ~ ( p v r )))) escreve-se mais simplesmente assim: ~p → ( q → ~ ( p v r))

Exercícios grupo B

1) Seja p a proposição “ 2 + 1 = 3” e q a proposição “ 23 = 4”. Determinar o valor lógico ( V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) p ^ ~q 
b) p v ~q 
c) ~p ^ q 
d) ~p ^ ~q

e) ~p v ~q 
f) ~( ~p ^ ~q ) 
g) p ^ ( ~p ^ q) 
h) ( ~p ^ q ) v ( p ^ ~q )

2) Determinar o valor lógico(V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) 0 > 1 ^  √5 é irracional

b) 1 > 0 ^ 3 + 2 = 5

c) 5²=10 π é um número racional

d) 3 = 3 ou  √25 = 4
e)Se ׀5- ׀ =  então 4+4 = 9

f)Se Cuiabá é a capital de Pernambuco então Pedro Álvares Cabral descobriu a América.

g) Se 10 – 2 = 7 então 3³=27

h) Não é verdade que 8 é um número ímpar.

i) E falso que Cuiabá é a capital de Mato Grosso.

j) Não é verdade que 8 + 1 = 9 e 8 – 1 = 6

k) E falso que 3 + 3 = 6 ou √-1 = 0

l) ~( 3 – 1 = 2 → 2² = 5)

m) ~( 3 . 2 = 9 ↔ 5 – 1 ≠ 4)

3) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que:

a) V ( p ® q ) = V e V ( p Ù q ) = F

b) V ( p ® q ) = V e V( p Ú q ) = F

c) V ( p « q ) = V e V( p Ù q ) = V

d) V ( p « q ) = V e V( p Ú q ) = V

e) V ( p « q ) = F e V( ~p Ú q ) = V

4) Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que:

a) V(p → q) = V e V(p ^ q) = F

b) V(p → q) = V e V(p v q) = F

c) V(p ↔ q) = V e V(p ^ q) = V

d) V(p ↔ q) =V e V(p v q) =V

e) V(p ↔ q) = F e V(~p v q) =V

5) Sejam as proposições: p: tg p = 1 e q: sen2 a + cos2 a = 1 . Deter minar o valor lógico ( V

ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) ( ~p ^ q ) v ( p ^ ~q ) 
b) (p → q) ^ ~p → ~q

c) ~( p ^ q ) ↔ ~p v ~q 
d) (p v ( ~p v q )) v ( ~p ^ ~q)

e) ( p ^ (~q → p) ) ^ ~(( p ↔ ~q) → q v ~p)

6) Sabendo-se que os valores lógicos das proposições p,q,r e s são respectivamente V,V,F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a) ~((r → p) v (s → q) 
b) r → q ↔ (~p ↔ r)

c) ~(p ^ q) → ~p v ~q 
d) ~(( p v s ) ^ ( s ^ r)

e) (q ^ r ) ^ s → ( p ↔ s)
f) p → ~q ↔ ( p v r ) ^ s

7) Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições:

a) ((p ↔ (r v p)) ↔ (q ^ (~( ~p) ) ) )

b) (( p ^ (~(~r))) ↔ (r ↔ (q v r )))

c) (((q v p) → (~r)) v ((((~p) ^ r) ^ p)))

Construção de Tabelas-Verdade

Tabela-Verdade de uma proposição composta

Com o emprego das tabelas-verdade das operações fundamentais, é possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada e mostrar exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.

Número de linhas de uma tabela-verdade

O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, assim sendo:

Proposição composta de duas proposições simples: 22 = 4 linhas

Proposição composta de três proposições simples: 23 = 8 linhas

Proposição composta de quatro proposições simples: 24 = 16 linhas

.

.

.

.

Proposição composta de n proposições simples: 2n linhas

Logo, a tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2n linhas.

Exemplos:

1) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q): ~ ( p → ~ q )

1ª solução:

Forma-se, em primeiro lugar, as colunas correspondentes às duas proposições simples componentes p e q. Em seguida, formam-se as colunas das partes da proposição composta dada. 

p	q	~q	p→~q	~(p→~q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	V	F
F	F	V	V	F

Os valores lógicos da proposição composta encontram-se na última coluna à direita.

Logo:

P (V V) = V

P (V F) = F

P (F V) = F

P (F F) = F

2ª solução:

Formam-se primeiro as colunas correspondentes às duas proposições p e q. Em seguida, à direita, formam-se colunas para essas proposições e para os conectivos que aparecem na proposição composta dada. Depois, numa certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores lógicos convenientes:

p	q	~	(p	→	~	q)
V	V	V	V	F	F	V
V	F	F	V	V	V	F
F	V	F	F	V	F	V
F	F	F	F	V	V	F
1	1	4	1	3	2	1

Os valores lógicos da proposição composta encontram-se na coluna completada em último lugar (coluna 4)

Então: P( VV,VF,FV,FF) = VFFF

2) Construir a tabela verdade da proposição: P(p,q,r): ( p → ( ~ q ^ r ) ) ^ ~ ( q ^ ( p ↔ ~ r ) )

Neste caso, não compensa construir a tabela através da 1ª solução apresentada, porque ela tem muitas partes e a tabela teria muitas colunas. Vamos construí-la conforme a 2ª solução apresentada.

p

q

r

(p

→

(~

q

v

r))

^

~

(q

v

(p

↔

~

r))

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

1

1

1

1

4

2

1

3

1

6

5

1

4

1

3

2

1

Logo : 

P(VVV) = F

P(VVF) = F

P(VFV) = V

P(VFF) = F

P(FVV) = F

P(FVF) = F

P(FFV) = F

P(FFF) = V

Exercícios grupo C

1) Construir as tabelas – verdade das seguintes proposições:

a) ~ p → ( q → p )

b) ( p ↔ ~ q ) → ~ p ^ q

c) ~ ( ( p ^ q ) ^ ( ~p ^ ~ q ) )

d) ( p ^ q ) ^ ~ p → ( p ↔ q )

e) ( p ^ q → r ) ^ ( ~ p ↔ q ^ ~ r )

f) p → ( p → ~ r ) ↔ q ^ r

g) ( p ^ ( q → ~ r ) ) ^ ( ~ p ^ r ↔ ~ q )

h) ( r ^ ( p ^ ~ q ) ) ^ ~ ( ~ r ^ ( p ^ q ) )

Tautologias, Contradições e Contingências

1) Tautologia : Chama-se tautologia a proposição composta que é sempre verdadeira. Na tabela – verdade de uma proposição tautológica, a “última coluna”, contém somente a letra V (verdade).

Ex: 

A proposição “p ^ q → ( p ↔ q )” é uma tautologia, conforme mostra sua tabela verdade:

p	q	p	^	q	→	(p	↔	q)
V	V	V	V	V	V	V	V	V
V	F	V	F	F	V	V	F	F
F	V	F	F	V	V	F	F	V
F	F	F	F	F	V	F	V	F
1	1	1	2	1	3	1	2	1

2) Contradição: Chama-se contradição a proposição composta que é sempre falsa. Na tabela- verdade de uma proposição contraditória, a “última coluna”, contém somente a letra F (falsidade).

Ex: 

A proposição “ ( ~ p ^ ~ r ) ^ ( q ^ r ) “ é contraditória, conforme mostra sua tabela verdade:

p	q	r	(~	(p	^	~	r)	^	(q	^	r)
V	V	V	F	V	F	F	V	F	V	V	V
V	F	V	F	V	F	F	V	F	F	F	V
V	F	F	F	V	F	V	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F	F	V	F	V	V	V
F	V	F	V	F	V	V	F	F	V	F	F
F	F	V	V	F	F	F	V	F	F	F	V
F	F	F	V	F	V	V	F	F	F	F	F
1	1	1	2	1	3	2	1	4	1	2	1

3) Contingência : Chama-se contingência a proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa. Na tabela verdade de uma proposição contingente, a “última coluna” contém as letras V (verdade) e F (falsidade ).

Ex: 

A proposição “ p ^ ( p ^ ~ q ) “ é uma contingência, conforme mostra sua tabela-verdade:

p	q	(p	v	(p	^	~	q)
V	V	V	V	V	F	F	V
V	F	V	V	V	V	V	F
F	V	F	F	F	F	F	V
F	F	F	F	F	V	V	F
1	1	1	4	1	3	2	1

Exercícios grupo D

1) Verificar se as proposições são tautológicas:

a) p v ( p → ( q ^ ~ q )

b) ( p → ( q ^ r ) ) → ( p → r )

2) Classificar as proposições em tautologia, contradição ou contingência:

a) ( p v ( p ^ q ) ) ↔ p 

b) ( ~ p ^ ~ q ) v ( p → q )

c) ( p v ~ q ) ↔ ( p → ~ q ) 

d) ( p → q ) → ( ( p v r ) ↔ ( q ^ r )

e) ( p → q ) v ( q ^ r ) 

f) ~ ( ( p → q ) → ( ( p → q ) v r ) )

Implicações Lógicas

Diz-se que uma proposição P ( p,q,r,....) implica uma proposição Q ( p,q,r,......) quando, em suas respectivas tabelas-verdade não aparece V na “ultima” coluna de P e F na ultima coluna de Q, com V e F em uma mesma linha. Indica-se que a proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...) com a notação:

P (p, q, r,... ) ⇒ Q (p, q, r,...)

Obs.: O símbolo “⇒” representa uma operação entre duas proposições, resultando uma nova proposição.

O símbolo “⇒” indica apenas uma relação entre duas proposições dadas.

Ex.: 

Verificar se p ⇒ q ⇒ p

Resolução: construindo a tabela-verdade, temos:

p	q	p	→	P
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	F	F
F	F	F	V	F

Comparando os valores lógicos da coluna de p com os valores lógicos da coluna “resultado” de p → q, verificamos que não ocorre VF (nessa ordem) numa mesma linha. Logo p ⇒ q → p

Ex: Dadas as proposições p ^ q e p ↔ q, vamos construir suas tabelas-verdade:

p	q	p ^ q	p↔q
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	F	V

Concluímos que:

p ^ q ⇒ p ↔« q (Em nenhuma linha das duas tabelas aparece VF)

p ⇒ p ^ q (na 2ª linha das duas tabelas ocorre VF)

p⇒ p ↔ q (na 2ª linha das duas tabelas ocorre VF)
q ⇒ p ^ q (na 3ª linha das duas tabelas ocorre VF)
q ⇒ p ↔ q (na 3ª linha das duas tabelas ocorre VF)



Propriedades das Implicações Lógicas:
1ª) A condição necessária e suficiente para que haja a implicação entre duas proposições é que a condicional associada-a elas seja uma tautologia.
Vimos anteriormente: p ^ q ⇒ p ↔ q
Vamos transformar a implicação, na operação lógica (condicional) e formando uma única proposição.
(p ^ q) → (p ↔ q)


Construindo sua tabela verdade
A proposição é tautológica, logo existe a implicação

p	q	(p	^	q)	→	(p	↔	q)
	V	V	V	V	V	V	V	V
V	F	V	F	F	V	V	F	F
F	V	F	F	V	V	F	F	V
F	F	F	F	F	V	F	V	F
1	1	1	2	1	3	1	2	1

2ª) Propriedade Reflexiva: p ⇒ p
3ª) Propriedade Transitiva: Se p ⇒ q e q ⇒ r, então p ⇒ r

Exercícios Grupo E

1) Verificar se existe a implicação entre as proposições
a) 32 = 9 e 23 = 8 ⇒ 23 = 4 e 12 = 2

b) ABC é um triângulo ⇒ a soma dos ângulos internos A, B e C é igual a 180°
c) x é um número primo ⇒ x é impar
d) x2 – x – 2 = 0 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2


2) Demonstrar que:
a) q ⇒ p → q
b) p v q ⇒ p
c) p  ↔  ~ q ⇒ p → q
d) (x = y v x < 4) ^ x < 4 ⇒ x = y
e) (x ≠ 0  →  x = y) ^ x ≠ y ⇒ x = o
f) p ^ (q v r) ⇒ (p ^ q) v r


Equivalências Lógicas
Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ...) quando os “resultados” de suas tabelas verdades são idênticas. Indica-se que a proposição P (p, q, r,...) é equivalente a proposição Q (p, q, r, ...) com a notação: P (p, q, r, ...) <=> Q (p, q, r, ...)
Obs.: O símbolo « representa uma operação entre as duas proposições, resultando uma nova proposição. O símbolo <=> indica apenas uma relação entre as duas proposições dadas.
Ex.: 
Verificar se p → q <=> ~ p v q
Construindo a tabela verdade, temos:

p	q	p→q	~p v q
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	v	v

Comparando os valores lógicos da coluna de p → q com os valores lógicos da coluna de ~ p v q, verificamos que são idênticos. Logo p  →   q <=> ~ p v q

Propriedades das Equivalências Lógicas:


1ª) A condição necessária e suficiente para que haja a equivalência entre duas proposições é que a bicondicional associada a elas seja uma tautologia. Vimos no exemplo anterior que: p  →  q <=> ~ p v q. Vamos transformar a equivalência, na operação lógica (bicondicional) formando uma única proposição: (p  →  q)  ↔ (~ p v q). Construindo sua tabela-verdade:

(p	→	q)	↔	(~	p	v	q)
V	V	V	V	F	V	V	V
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	V	V	F	V	V
F	v	F	V	V	F	V	F
1	2	1	4	2	1	3	1

A proposição é tautológica, logo existe a equivalência
p  →  q <=> ~ p v q



2ª) Reflexiva: p  <=>   p
3ª) Simétrica: Se p  <=>   q, então, q  <=>   p
4ª) Transitiva: Se p  <=>   q e q  <=>   r, então, p  <=>  r



Equivalências Notáveis
1ª) Dupla Negação: ~~ p <=> p

p	~p	~~p
V	F	V
F	V	F

Observe que os valores lógicos das colunas de ~~p e p são idênticos. Logo ~~p <=> p
Portanto, a dupla negação equivale a afirmação.


2ª) Leis Idempotentes
a) p ^ p <=> p

p	p^p
V	V
F	F

b) p v p <=> p

p	p v p
V	V
F	F

Observe que nas duas tabelas, os valores lógicos da segunda coluna são os mesmos da primeira, logo: p ^ p <=> p e p v p <=> p

3ª) Leis Comutativas
a) p ^ q <=> q ^ p
b) p v q <=> q v p

p	q	p ^ q	q ^ p	p v q	q v p
V	V	V	V	V	V
V	F	F	F	V	V
F	V	F	F	V	V
F	F	F	F	F	F

Observe que são idênticos os valores lógicos das colunas p ^ q e q ^ p e também são idênticos os valores lógicos das colunas p v q e q v p, logo p ^ q <=> q ^ p e p v q <=> q v p


4ª) Leis Associativas
a) p ^ (q ^ r) ^ (p ^ q) ^ r
b) p v (q v r) v (p v q) v r

5ª) Leis de Morgan
a) ~ (p ^ q) <=> ~ p v ~ q
b) ~ (p v q) <=> ~ p ^ ~ q


6ª) Leis Distributivas
a) p ^ (q v r) <=> (p ^ q) v (p ^ r)
b) p v (q ^ r) <=> (p v q) ^ (p v r)

7ª) Condicionais
Das Proposições:
a) p ® q ( Condicional)
b) q ® p (Recíproca da Condicional)
c) ~ p ® ~ q (Contraria da Condicional)
d) ~q ® ~ p (Contrapositiva da Condicional)

Resultam as duas seguintes equivalências notáveis:

1ª) (p  →  q) <=> (~ q  →  ~p) ( A condicional é equivalente a sua contrapositiva)

2ª) (q → p) <=> (~p → ~q) (A recíproca da condicional é equivalente à contraria da condicional)

8ª) Bicondicional
p ↔ q <=> (p → q) ^ (q → p)

9ª) Negação Conjunta: ~ p ^ ~ q
A Negação Conjunta também se indica pela notação “p ↓ q”. Portanto temos: p ↓ q <=> ~ p ^ ~ q

p	q	p↓ q
V	V	F
V	F	F
F	V	F
F	F	V

10ª) Negação Disjunta: ~ p v ~ q
A Negação Disjunta também se indica pela notação “p↑q”. Portanto temos: p↑q <=> ~ p ^~ q

p	q	p↑ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	V

· Os símbolos “ ↓ ” e “↑” são chamados “Conectivos de Scheffer”

Exercícios Grupo F
1) Julgar se as proposições p e q são equivalentes (p <=> q) em cada um dos seguintes casos:

a) p: 7+ 1 = 8                  q: (7+1)² = 64
b) p: 30 = 1                     q: 0³ = 1

c) p: Sen π/2 = 1             q: Cos  π/2 = 0

d) p: x é par                     q: x+1 é impar (x  є  z)

e) p: x  є  {a}                     q: x = a 

2) Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências notáveis:

a) p ^ (q ^ r) <=> (p ^ q) ^ r

b) p v (q v r)  <=>  (p v q) v r

c) ~ (p ^ q)  <=>  ~ p v ~ q

d) ~ (p v q)  <=>  ~ p ^ ~ q

e) p ^ (q v r)  <=>  (p ^ q) v (p ^ r)

f) p v (q ^ r)  <=>  (p v q) ^ (p v r)

g) p ↔ q  <=>  (p  →  q) ^ (q  →  p)

3) Demonstrar as equivalências:

a) p  ↓  q <=> q  ↓  p

b) p↑q <=> q ↑ p

c) (( p↑~ p) ↑ (p↑~ p)) <=> p ^ ~ p

4) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:

a) (~ p ↓ q) ^ (q ­ ~ r)

b) ((p ↑ q) v (q ↓ r)) ↑ (r ↓ p)

c) (~ p ↑ ~ q) « (( q ↓ r) ↓ p)

d) ((p ­↑ ~ p) v q) ↓ ( q ^ r)

5) Usando as leis de Morgan, dê a negação em linguagem corrente das seguintes proposições:

a) Não está frio ou não está chovendo

b) O pai de Marcos é pernambucano ou sua mãe é gaúcha

c) Jorge estuda física mas não estuda química

6) Seja a condicional: “Se Pedro é professor então é pobre”, dar em linguagem corrente:

a) A sua Contrapositiva d) A Recíproca de sua Contrapositiva

b) A sua Recíproca e) Sua Contraria

c) A Contrapositiva de sua Recíproca f) A Contrapositiva da sua Contrária

LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO

Argumento: Chama-se argumento, toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P1, P2,... Pn tem como consequência uma proposição final Q. As proposições P1, P2,... Pn são chamadas de premissas do argumento, e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento.

Um Argumento de premissas P1, P2,... Pn e conclusão Q é indicado na forma simbólica, por:

P1, P2, P3, ... Pn ׀--Q

E pode ser lida de uma das seguintes maneiras:

“P1, P2, P3, ... Pn acarretam Q”

“Q decorre de P1, P2, ... Pn”

“Q se deduz de P1, P2, ... Pn”

“Q se enfere de P1, P2,... Pn”

O mesmo argumento, pode também ser indicado pela forma padronizada:

P1

P2

P3

.

.

.

Pn_

Q

Exemplo:

Antonio é rico ou pobre, Antonio não é rico ׀--Antonio é pobre

Na forma padronizada:

Antonio é rico ou pobre

Antonio não é rico

_______________________

Logo, Antonio é pobre

Sendo p: Antonio é rico

          q: Antonio é pobre

Escrevendo o argumento na forma simbólica temos:

p v q, ~ p  ׀-- q ou p v q

                                 ~ q

                       ________

                                    q

Validade de um Argumento:

Um argumento, P2, ... Pn  ׀-- Q é válido se somente a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ... Pn forem verdadeiras.

Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos, admitidas como verdadeiras. Logo, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras.

Quando um argumento é válido, a condicional associada ao argumento é uma tautologia.

Um Argumento P1, P2, ... Pn  ׀-- Q é válido se, e somente se, a condicional P1 ^ P2 ^ P3 ^ ... Pn  →  Q for tautológica.

A validade de um argumento pode ser verificada, demonstrada ou testada de diversas formas, estudaremos a validade ou não dos argumentos através das tabelas-verdade e das regras de inferência.

Validade de um Argumento através de Tabelas-Verdade:

Para demonstrar, ou verificar, ou testar se um determinado argumento é válido ou não, mediante tabelas-verdade, procede-se do seguinte modo:

a) Constrói-se a condicional associada ao argumento

b) Constrói-se a tabela-verdade e verifica-se se esta condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional é tautológica, então o argumento é válido, caso contrário diz-se que o argumento é não-válido ou sofisma.

Obs.: 

1) Verdade e falsidade podem se predicados das proposições, nunca dos argumentos

2) Propriedades de validade ou não-validade só podem pertencer a argumentos, mas nunca à proposições

3) Num raciocínio dedutivo não é possível estabelecer a verdade da sua conclusão se as premissas não forem todas verdadeiras. Determinar a validade ou não–validade dos raciocínios está inteiramente dentro do domínio da Lógica. O lógico está interessado na validade até daqueles argumentos cujas premissas possam ser falsas.

Exercícios Resolvidos

1) Verificar se é válido o argumento:

Se é sábado, Paulo vai ao restaurante

Paulo não foi ao restaurante

______________________________

Logo, não é sábado

Solução: Representando por p a proposição “É sábado” e por q a proposição “Paulo vai ao restaurante”, o argumento dado, sob a forma simbólica escreve-se: p → q, ~ q  ׀--  ~ p

Vamos escrever a condicional associada ao argumento: ((p → q) ^ ~ q) → ~ p

Construindo agora, a tabela-verdade, temos: